在這個由兩部分組成的系列文章的第 部分（“ 用 PHP 實現的簡單線性回歸”）中我說明了數學庫對 PHP 有用的原因我還演示了如何用 PHP 作為實現語言來開發和實現簡單線性回歸算法的核心部分
本文的目標是向您展示如何使用第 部分中討論的 SimpleLinearRegression 類來構建一個重要的數據研究工具
簡要回顧概念
簡單線性回歸建模背後的基本目標是從成對的 X值和 Y值（即 X和 Y測量值）組成的二維平面中找到最吻合的直線一旦用 最小方差法找到這條直線就可以執行各種統計測試以確定這條直線與觀測到的 Y值的偏離量吻合程度
線性方程（ y = mx + b）有兩個參數必須根據所提供的 X和 Y數據估算出來它們是斜率（ m）和 y 軸截距（ b）一旦估算出這兩個參數就可以將觀測值輸入線性方程並觀察方程所生成的 Y預測值
要使用最小方差法估算出 m和 b參數就要找到 m 和 b 的估計值使它們對於所有的 X值得到的 Y值的觀測值和預測值最小觀測值和預測值之差稱為誤差（ y i (mx i+ b) ）並且如果對每個誤差值都求平方然後求這些殘差的和其結果是一個被稱為 預測平方差的數使用最小方差法來確定最吻合的直線涉及尋找使預測方差最小的 m和 b的估計值
可以用兩種基本方法來找到滿足最小方差法的估計值 m和 b第一種方法可以使用數值搜索過程設定不同的 m和 b值並對它們求值最終決定產生最小方差的估計值第二種方法是使用微積分找到用於估算 m和 b 的方程我不打算深入討論推導出這些方程所涉及的微積分但我確實在 SimpleLinearRegression 類中使用了這些分析方程以找到 m和 b 的最小平方估計值（請參閱 SimpleLinearRegression 類中的 getSlope() 和 getYIntercept 方法）
即使擁有了可以用來找到 m和 b的最小平方估計值的方程也並不意味著只要將這些參數代入線性方程其結果就是一條與數據良好吻合的直線這個簡單線性回歸過程中的下一步是確定其余的預測方差是否可以接受
可以使用統計決策過程來否決“直線與數據吻合”這個備擇假設這個過程基於對 T 統計值的計算使用概率函數求得隨機大的觀測值的概率正如第 部分所提到的 SimpleLinearRegression 類生成了為數眾多的匯總值其中一個重要的匯總值是 T 統計值它可以用來衡量線性方程與數據的吻合程度如果吻合良好則 T 統計值往往是一個較大的值如果 T 值很小就應該用一個缺省模型代替您的線性方程該模型假定 Y值的平均值是最佳預測值（因為一組值的平均值通常可以是下一個觀測值的有用的預測值）
要測試 T 統計值是否大到可以不用 Y值的平均值作為最佳預測值需要計算隨機獲得 T 統計值的概率如果概率很低那就可以不采用平均值是最佳預測值這一無效假設並且相應地可以確信簡單線性模型是與數據良好吻合的（有關計算 T 統計值概率的更多信息請參閱第 部分）
回過頭討論統計決策過程它告訴您何時不采用無效假設卻沒有告訴您是否接受備擇假設在研究環境中需要通過理論參數和統計參數來建立線性模型備擇假設
您將構建的數據研究工具實現了用於線性模型（T 測試）的統計決策過程並提供了可以用來構造理論和統計參數的匯總數據這些參數是建立線性模型所需要的數據研究工具可以歸類為決策支持工具供知識工作者在中小規模的數據集中研究模式
從學習的角度來看簡單線性回歸建模值得研究因為它是理解更高級形式的統計建模的必由之路例如簡單線性回歸中的許多核心概念為理解多次回歸（Multiple Regression）要素分析（Factor Analysis）和時間序列（Time Series）等建立了良好的基礎
簡單線性回歸還是一種多用途的建模技術通過轉換原始數據（通常用對數或冪轉換）可以用它來為曲線數據建模這些轉換可以使數據線性化這樣就可以使用簡單線性回歸來為數據建模所生成的線性模型將被表示為與被轉換值相關的線性公式
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概率函數
在前一篇文章中我通過交由 R 來求得概率值從而避開了用 PHP 實現概率函數的問題我對這個解決方案並非完全滿意因此我開始研究這個問題開發基於 PHP 的概率函數需要些什麼
我開始上網查找信息和代碼一個兩者兼有的來源是書籍 Numerical Recipes in C 中的概率函數我用 PHP 重新實現了一些概率函數代碼（ gammlnc 和 betaic 函數）但我對結果還是不滿意與其它一些實現相比其代碼似乎多了些此外我還需要反概率函數
幸運的是我偶然發現了 John Pezzullo 的 Interactive Statistical CalculationJohn 關於 概率分布函數的網站上有我需要的所有函數為便於學習這些函數已用 JavaScript 實現
我將 Student T 和 Fisher F 函數移植到了 PHP我對 API 作了一點改動以便符合 Java 命名風格並將所有函數嵌入到名為 Distribution 的類中該實現的一個很棒的功能是 doCommonMath 方法這個庫中的所有函數都重用了它我沒有花費力氣去實現的其它測試（正態測試和卡方測試）也都使用 doCommonMath 方法
這次移植的另一個方面也值得注意通過使用 JavaScript用戶可以將動態確定的值賦給實例變量譬如
var PiD = pi() /
在 PHP 中不能這樣做只能把簡單的常量值賦給實例變量希望在 PHP 中會解決這個缺陷
請注意 清單 中的代碼並未定義實例變量 — 這是因為在 JavaScript 版本中它們是動態賦予的值
清單 實現概率函數
<?php // Distributionphp // Copyright John Pezullo // Released under same terms as PHP // PHP Port and OOfying by Paul Meagher class Distribution { function doCommonMath($q $i $j $b) { $zz = ; $z = $zz; $k = $i; while($k <= $j) { $zz = $zz * $q * $k / ($k $b); $z = $z + $zz; $k = $k + ; } return $z; } function getStudentT($t $df) { $t = abs($t); $w = $t / sqrt($df); $th = atan($w); if ($df == ) { return $th / (pi() / ); } $sth = sin($th); $cth = cos($th); if( ($df % ) == ) { return ($th + $sth * $cth * $this>doCommonMath($cth * $cth $df )) / (pi()/); } else { return $sth * $this>doCommonMath($cth * $cth $df ); } } function getInverseStudentT($p $df) { $v = ; $dv = ; $t = ; while($dv > e) { $t = ( / $v) ; $dv = $dv / ; if ( $this>getStudentT($t $df) > $p) { $v = $v $dv; } else { $v = $v + $dv; } } return $t; } function getFisherF($f $n $n) { // implemented but not shown } function getInverseFisherF($p $n $n) { // implemented but not shown } } ?>
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圖形輸出
迄今為止您已經實現的輸出方法都以 HTML 格式顯示匯總值它也適合於用 GIFJPEG 或 PNG 格式顯示這些數據的分布圖（scatter plot）或線圖（line plot）
與其親自編寫生成線圖和分布圖的代碼我認為最好使用名為 JpGraph的基於 PHP 的圖形庫JpGraph 正由 Johan Persson 積極開發其 項目網站這樣描述它
無論是對於只有最少代碼的“以快捷但不恰當方式獲得的”圖形還是對於需要非常細粒度控制的復雜專業圖形JpGraph 都可以使它們的繪制變得簡單JpGraph 同樣適用於科學和商業類型的圖形
JpGraph 分發版中包含大量可以根據特定需求進行定制的示例腳本將 JpGraph 用於數據研究工具非常簡單只需找到功能與我的需求類似的示例腳本然後對該腳本進行改寫以滿足我的特定需求即可
清單 中的腳本是從樣本數據研究工具（ explorephp）中抽取的它演示了如何調用該庫以及如何將來自於 SimpleLinearRegression 分析的數據填入 Line 和 Scatter 類這段代碼中的注釋是 Johan Persson 編寫的（JPGraph 代碼庫的文檔化工作做得很好）
清單 來自於樣本數據研究工具 explorephp 的函數的詳細內容
<?php // Snippet extracted from explorephp script include ("jpgraph/jpgraphphp"); include ("jpgraph/jpgraph_scatterphp"); include ("jpgraph/jpgraph_linephp"); // Create the graph $graph = new Graph(auto); $graph>SetScale("linlin"); // Setup title $graph>title>Set("$title"); $graph>img>SetMargin(); $graph>xaxis>SetTitle("$x_name""center"); $graph>yaxis>SetTitleMargin(); $graph>yaxis>title>Set("$y_name"); $graph>title>SetFont(FF_FONTFS_BOLD); // make sure that the Xaxis is always at the // bottom at the plot and not just at Y= which is // the default position $graph>xaxis>SetPos(min); // Create the scatter plot with some nice colors $sp = new ScatterPlot($slr>Y $slr>X); $sp>mark>SetType(MARK_FILLEDCIRCLE); $sp>mark>SetFillColor("red"); $sp>SetColor("blue"); $sp>SetWeight(); $sp>mark>SetWidth(); // Create the regression line $lplot = new LinePlot($slr>PredictedY $slr>X); $lplot>SetWeight(); $lplot>SetColor(navy); // Add the pltos to the line $graph>Add($sp); $graph>Add($lplot); // and stroke $graph_name = "temp/testpng"; $graph>Stroke($graph_name); ?> <img src=<?php echo $graph_name ?> vspace=> ?>
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數據研究腳本
該數據研究工具由單個腳本（ explorephp）構成該腳本調用 SimpleLinearRegressionHTML 類和 JpGraph 庫的方法
該腳本使用了簡單的處理邏輯該腳本的第一部分對所提交的表單數據執行基本驗證如果這些表單數據通過驗證則執行該腳本的第二部分
該腳本的第二部分所包含的代碼用於分析數據並以 HTML 和圖形格式顯示匯總結果 清單 中顯示了 explorephp腳本的基本結構
清單 explorephp 的結構
<?php // explorephp if (!empty($x_values)) { $X = explode("" $x_values); $numX = count($X); } if (!empty($y_values)) { $Y = explode("" $y_values); $numY = count($Y); } // display entry data entry form if variables not set if ( (empty($title)) OR (empty($x_name)) OR (empty($x_values)) OR (empty($y_name)) OR (empty($conf_int)) OR (empty($y_values)) OR ($numX != $numY) ) { // Omitted code for displaying entry form } else { include_once "slr/SimpleLinearRegressionHTMLphp"; $slr = new SimpleLinearRegressionHTML($X $Y $conf_int); echo "<h>$title</h>"; $slr>showTableSummary($x_name $y_name); echo "<br><br>"; $slr>showAnalysisOfVariance(); echo "<br><br>"; $slr>showParameterEstimates($x_name $y_name); echo "<br>"; $slr>showFormula($x_name $y_name); echo "<br><br>"; $slr>showRValues($x_name $y_name); echo "<br>"; include ("jpgraph/jpgraphphp"); include ("jpgraph/jpgraph_scatterphp"); include ("jpgraph/jpgraph_linephp"); // The code for displaying the graphics is inline in the // explorephp script The code for these two line plots // finishes off the script: // Omitted code for displaying scatter plus line plot // Omitted code for displaying residuals plot } ?>
From:http://tw.wingwit.com/Article/program/PHP/201311/21213.html
